Question

6．设S_n为等差数列{a_n}的前n项和，已知a₄=9，a₃+a₇=22．
（I）求数列{a_n}的通项公式a_n；
（Ⅱ）求证：$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}＜\frac{3}{4}$．

Answer 1

分析 （1）通过等差数列中下标和相等两项和相等及a₃+a₇=22可知a₅=11，利用d=a₅-a₄计算即得结论；
（2）通过（1）、裂项可知$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），进而并项相加即得结论．

解答 （1）解：依题意，2a₅=a₃+a₇=22，即a₅=11，
又∵a₄=9，
∴公差d=a₅-a₄=2，
∴a_n=a₄+（n-4）d=2n+1；
（2）证明：由（1）可知${S_n}={n^2}+2n$，
∴$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{n（n+2）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
累加得：$\frac{1}{S_1}+\frac{1}{S_2}+\frac{1}{S_3}+…+\frac{1}{S_n}=\frac{1}{2}（1+\frac{1}{2}-\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}）＜\frac{3}{4}$．

点评 本题考查是一道关于数列与不等式的综合题，考查求数列的通项及前n项和，利用裂项相消法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．