Question

【题目】已知函数f（x）= ．
（I）讨论函数的单调性，并证明当x＞﹣2时，xex+2+x+4＞0；
（Ⅱ）证明：当a∈[0，1）时，函数g（x）= （x＞﹣2）有最小值，设g（x）最小值为h（a），求函数h（a）的值域．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）证明：由 ，

得 ，

故f（x）在（﹣∞，﹣4）和（﹣4，+∞）上单调递增，

当x＞﹣2时，由上知f（x）＞f（﹣2）=﹣1，

即 ，即xex+2+x+4＞0，得证．

（Ⅱ）对 求导，

得 ，x＞﹣2．

记 ，x＞﹣2．

由（Ⅰ）知，函数φ（x）区间（﹣2，+∞）内单调递增，

又φ（﹣2）=﹣1+a＜0，φ（0）=a＞0，所以存在唯一正实数x0，使得 ．

于是，当x∈（﹣2，x0）时，φ（x）＜0，g'（x）＜0，

函数g（x）在区间（﹣2，x0）内单调递减；

当x∈（x0，+∞）时，φ（x）＞0，g'（x）＞0，

函数g（x）在区间（x0，+∞）内单调递增．

所以g（x）在（﹣2，+∞）内有最小值 ，

由题设即 ．

又因为 ．所以 ．

根据（Ⅰ）知，f（x）在（﹣2，+∞）内单调递增，

，所以﹣2＜x0≤0．

令 ，

则 ，函数u（x）在区间（﹣2，0]内单调递增，

所以u（﹣2）＜u（x）≤u（0），

即函数h（a）的值域为

【解析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到f（x）＞f（﹣2），证明结论即可；（Ⅱ）求出g（x）的导数，得到g（x）的最小值，分离a，得到 ，所以﹣2＜x0≤0．令 ，根据函数的单调性判断即可．
【考点精析】掌握利用导数研究函数的单调性是解答本题的根本，需要知道一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．