Question

8．对于大于1的自然数m的三次幂可用奇数进行以下方式的“分裂”：2³=$\left\{\begin{array}{l}{3}\\{5}\end{array}\right.$，3³=$\left\{\begin{array}{l}{7}\\{9}\\{11}\end{array}\right.$，4³=$\left\{\begin{array}{l}{13}\\{15}\\{17}\\{19}\end{array}\right.$，…．仿此，若m³的“分裂数”中有一个是413，则m=20．

Answer 1

分析 由题意，从2³到m³，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m，413是从3开始的第206个奇数，由此能求出结果．

解答 解：由题意，从2³到m³，正好用去从3开始的连续奇数共2+3+4+…+m=$\frac{（m+2）（m-1）}{2}$个，
∵2n+1=413，得n=206，
∴413是从3开始的第206个奇数，
当m=19时，从2³到19³，用去从3开始的连续奇数共$\frac{21×18}{2}$=189个，
当m=20时，从2³到20³，用去从3开始的连续奇数共$\frac{22×19}{2}$=209个，
故m=20．
故答案为：20．

点评 本题考查满足条件的实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意总结规律，合理运用等差数列前n项和公式求解．