Question

（2005•温州一模）已知点A（5，0）和⊙B：（x+5）²+y²=36，P是⊙B上的动点，直线BP与线段AP的垂直平分线交于点Q．
（1）证明点Q的轨迹是双曲线，并求出轨迹方程．
（2）若(

BQ

+

BA

)•

QA

=0，求点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）由点Q在线段AP的垂直平分线上，知|QP|=|QA|，所以||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．由此能求出点Q的轨迹方程．
（2）以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC，则

BQ

+

BA

=

BC

．由(

BQ

+

BA

)•

QA

=0，知

BC

•

QC

=0，所以平行四边形ABQC是菱形，由此能求出点Q的坐标．

解答：解：（1）∵点Q在线段AP的垂直平分线上，
∴|QP|=|QA|，
∴||BQ|-|PQ||=||BQ|-|AQ||=6．
∴点Q的轨迹是以A、B为焦点的双曲线．（4′）
其轨迹方程是

x2

9

-

y2

16

=1．（7′）
（2）以A、B、Q为三个顶点作平行四边形ABQC，
则

BQ

+

BA

=

BC

∵(

BQ

+

BA

)•

QA

=0，
∴

BC

•

QC

=0，
∴平行四边形ABQC是菱形，
∴|

BA

|=|

BQ

|．（8′）
∴点Q在圆（x+5）²+y²=100上．
解方程组

(x+5)2+y2=100 x2 9 - y2 16 =1

．（10′）
得Q(-

39

5

，±

48

5

)或Q(

21

5

，±

8 6

5

)．（12′）

点评：本题主要考查双曲线标准方程，简单几何性质，直线与双曲线的位置关系，圆的简单性质等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力；考查函数与方程思想，化归与转化思想．