Question

（本小题满分14分）设数列的首项R），且，（Ⅰ）若；（Ⅱ）若，证明：；（Ⅲ）若，求所有的正整数，使得对于任意，均有成立.

Answer 1

(1) a₂=－a₁+4=－a+4，且a₂∈（3，4）所以a₃=a₂－3=－a+1，且a₃∈（0，1）所以a₄=－a₃+4=a+3，且a₄∈（3，4）所以a₅=a₄－3="a"
(2)运用数列的递推关系来分析作差法进行比较证明。
(3)对于参数a要进行分类讨论，然后结合上一问的结论加以证明。

试题分析：（Ⅰ）解：因为
所以a₂=－a₁+4=－a+4，且a₂∈（3，4）所以a₃=a₂－3=－a+1，且a₃∈（0，1）所以a₄=－a₃+4=a+3，且a₄∈（3，4）所以a₅=a₄－3=a       ……4分
（Ⅱ）证明：当所以，        ……6分
②当所以， 综上，     ……8分
（Ⅲ）解：①若因此，当k=4m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立 …10分
②若
因此，当k=2m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立 …12分
③若，因此k=m（m∈N*）时，对所有的n∈N*，成立  ……13分综上，若0<a<1，则k=4m；，则k=2m；
若a=2，则k="m." m∈N*         ……14分
点评：该试题主要是涉及到了关于数列与不等式的综合运用，属中档题。