Question

甲、乙两篮球运动员进行定点投篮，每人各投4个球，甲投篮命中的概率为

1

2

，乙投篮命中的概率为

2

3

（Ⅰ）求甲至多命中2个且乙至少命中2个的概率；
（Ⅱ）若规定每投篮一次命中得3分，未命中得-1分，求乙所得分数η的概率分布和数学期望．

Answer 1

分析：（Ⅰ）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，分别做出甲至多命中2个球的概率和乙至少命中两个球的概率，根据相互独立事件的概率公式得到结果．
（II）乙所得分数为η，η可能的取值-4，0，4，8，12，当变量是-4时，表示一个球也没进，当变量是0时，表示只进一个球，当变量是4时，表示进了2个球，当变量是8时，表示进了3个球，当变量是12时，表示进了4个球，结合变量对应的事件和独立重复试验写出分布列和期望．

解答：解：（Ⅰ）甲至多命中2个且乙至少命中2个包含的两个事件是相互独立事件，
设“甲至多命中2个球”为事件A，“乙至少命中两个球”为事件B，由题意得：P(A)=(

1

2

)4+

C

1 4

(

1

2

)1•(

1

2

)3+

C

2 4

(

1

2

)2•(

1

2

)2=

11

16

P(B)=

C

2 4

(

2

3

)2×(

1

3

)2+

C

3 4

(

2

3

)3×

1

3

+(

2

3

)4=

8

9

∴甲至多命中2个球且乙至少命中2个球的概率为：
P(A)•P(B)=

11

16

×

8

9

=

11

18

（Ⅱ）乙所得分数为η
η可能的取值-4，0，4，8，12，
P（η=-4）=

C

0 4

(

1

3

)4=

1

81

，
P（η=0）=

C

1 4

×

2

3

×(

1

3

)3=

8

81

P（η=4）=C₄²(

2

3

)2(

1

3

)2=

24

81

P（η=8）=

C

3 4

(

2

3

)3×

1

3

=

32

81

P（η=-4）=

C

4 4

(

2

3

)4=

16

81

分布列如下：

∴Eη=-4×

1

81

+0×

8

81

+4×

24

81

+8×

32

81

+12×

16

81

=

20

3

．

点评：本题考查独立重复试验，考查离散型随机变量的分布列和期望，是一个综合题，解题时注意进球的个数对应的是乙所得的分数，注意分数与进球个数的对应．