Question

已知椭圆C：

x2

4

+

y2

16 3

=1，过椭圆焦点F₁作直线l交椭圆于M、N两点．设线段MN的中点为P，若S△PF1F2=

1

3

，求直线l的方程．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：由椭圆C：

x2

4

+

y2

16 3

=1，可得c=

a2-b2

=

2 3

3

．取F1(0，

2 3

3

)．设直线l的方程为：y=kx+

2 3

3

．设线段MN的中点P（x₀，y₀）．利用S△PF1F2=

1

3

，解得x₀．直线方程与椭圆方程联立可得根与系数的关系、利用中点坐标公式即可解得k．

解答： 解：由椭圆C：

x2

4

+

y2

16 3

=1，可得a²=

16

3

，b²=4，∴c=

a2-b2

=

2 3

3

．
∴|F₁F₂|=2c=

4 3

3

．
取F1(0，

2 3

3

)．
设直线l的方程为：y=kx+

2 3

3

．
设线段MN的中点P（x₀，y₀），
∵S△PF1F2=

1

3

，∴

1

2

×2c•|x0|=

1

3

，
∴

2 3

3

|x0|=

1

3

，
解得x0=±

3

6

．
联立

y=kx+ 2 3 3 x2 4 + 3y2 16 =1

，化为(4+3k2)x2+4

3

kx-12=0，
∴x1+x2=-

4 3 k

4+3k2

=2x₀，x0=±

3

6

，
化为3k²±12k+4=0，
解得k=

±6±2 6

3

．
∴直线l的方程为：y=

±6±2 6

3

x+

2 3

3

．

点评：本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线方程与椭圆相交转化为方程联立得到根与系数的关系、中点坐标公式、三角形的面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．