Question

某化工企业2007年底投入100万元，购入一套污水处理设备．该设备每年的运转费用是0.5万元，此外每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元．
（1）求该企业使用该设备x年的年平均污水处理费用y（万元）；
（2）问该企业几年后的年平均污水处理费用最低？

Answer 1

分析：（1）由题意可知：该企业使用该设备x年的年污水处理费用由3部分组成，一是2007年底投入的100万元，二是该设备每年的运转费用是0.5万元，三是每年都要花费一定的维护费，第一年的维护费为2万元，由于设备老化，以后每年的维护费都比上一年增加2万元，据此即可得出答案．
（2）利用（1）求出的不表达式，利用基本不等式的性质即可得出．

解答：解：（1）投题意可得y=

100+0.5x+(2+4+6+…+2x)

x

=

100+0.5x+ x(2+2x) 2

x

=x+

100

x

+1.5（x∈N^*）．
（2）由基本不等式可得：y≥2

x• 100 x

+1.5=21.5，
当且仅当x=

100

x

，x＞0，解得x=10，即x=10时取等号．
即该企业10年后的年平均污水处理费用最低．

点评：正确理解题意该企业使用该设备x年的年污水处理费用由3部分组成和熟练掌握等差数列的前n项和公式、基本不等式的性质是解题的关键．