Question

设函数f(x)=2

-x2+x+2

，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

若对于函数f(x)=2

-x2+x+2

定义域内的任意 x，恒有f_K（x）=f（x），则（　　）

• A、K的最大值为2

  2

• B、K的最小值为2

  2

• C、K的最大值为1
• D、K的最小值为1

Answer 1

分析：由已知中函数f(x)=2

-x2+x+2

，对于给定的正数K，定义函数fK(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

若对于函数f(x)=2

-x2+x+2

定义域内的任意 x，恒有f_K（x）=f（x），则f（x）的最大值小于等于M，求出函数的值域，即可确定满足条件的M的范围，进而得到答案．

解答：解：∵函数f(x)=2

-x2+x+2

的值域为（0，2

2

]
由已知中函数fK(x)=

f(x)，f(x)≤K K，f(x)＞K

，
结合对于函数f(x)=2

-x2+x+2

定义域内的任意 x，恒有f_K（x）=f（x），
故M≥2

2

即K的最小值为2

2

故选B

点评：本题考查的知识点是函数的最值及其几何意义，其中根据指数函数的性质，二次函数的图象和性质，确定出函数f(x)=2

-x2+x+2

的值域是解答本题的关键．