现有甲.乙两个靶.某射手进行射击训练.每次射击击中甲靶的概率是p1.每次射击击中乙靶的概率是p2.其中p1＞p2.已知该射手先后向甲.乙两靶各射击一次.两次都能击中与两次都不能击中的概率分别为815.115．该射手在进行射击训练时各次射击结果互不影响．(Ⅰ)求p1.p2的值,(Ⅱ)假设该射手射击乙靶三次.每次射击击中目标得1分.未击中目标得0� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

现有甲、乙两个靶，某射手进行射击训练，每次射击击中甲靶的概率是p₁，每次射击击中乙靶的概率是p₂，其中p₁＞p₂，已知该射手先后向甲、乙两靶各射击一次，两次都能击中与两次都不能击中的概率分别为

，

．该射手在进行射击训练时各次射击结果互不影响．
（Ⅰ）求p₁，p₂的值；
（Ⅱ）假设该射手射击乙靶三次，每次射击击中目标得1分，未击中目标得0分．在三次射击中，若有两次连续击中，而另外一次未击中，则额外加1分；若三次全击中，则额外加3分．记η为该射手射击三次后的总的分数，求η的分布列；
（Ⅲ）某研究小组发现，该射手在n次射击中，击中目标的次数X服从二项分布．且射击甲靶10次最有可能击中8次，射击乙靶10次最有可能击中7次．试探究：如果X：B（n，p），其中0＜p＜1，求使P（X=k）（0≤k≤n）最大自然数k．

（Ⅰ）记“该射手向甲靶射击一次并击中”为事件A，
“该射手向乙靶射击一次并击中”为事件B，
则由题意得，

P(AB)=

，
由各次射击结果互不影响得

P(A)P(B)=

)P(

，
即

p1p2=

(1-p1)(1-p2)=

，
解得p1=

，p2=

．…（3分）
（Ⅱ）η的所有可能取值为0，1，2，3，6．…（4分）
记“该射手第i次射击击中目标”为事件A_i（i=1，2，3），
则P(η=0)=P(

)=(1-

)3=

，P(η=1)=P(A1

A3)=P(A1

)+P(

A3)
=

×(1-

)2+(1-

)×

×(1-

)+(1-

)2×

，P(η=2)=P(A1

A3)=

×(1-

)×

，P(η=3)=P(A1A2

A2A3)=P(A1A2

)+P(

A2A3)=(

)2×(1-

)+(1-

)×(

)2=

，P(η=6)=P(A1A2A3)=(

)3=

．
所以η的分布列为：

…（9分）
（Ⅲ）考察不等式

P(X=k+1)

P(X=k)

k+1n

pk+1(1-p)n-k-1

pk(1-p)n-k

n-k

k+1

•

1-p

≥1，
得k≤（n+1）p-1．
①如果（n+1）p是正整数，那么（n+1）p-1也是正整数．
此时，可以使：k=（n+1）p-1，即k+1=（n+1）p，
且P（X=k+1）=P（X=k）．
则当k取（n+1）p或（n+1）p-1时，P（X=k）取最大值．
②如果（n+1）p不是正整数，那么不等式

P(X=k+1)

P(X=k)

≥1不可能取等号．
所以，对任何k，P（X=k+1）≠P（X=k）．
所以，当k+1＜（n+1）p时，P（X=k+1）＞P（X=k）．
记小于（n+1）p的最大整数为[（n+1）p]，
则当k=[（n+1）p]时，P（X=k）取最大值．
综上可知，如果（n+1）p是正整数，当k取（n+1）p或（n+1）p-1时，P（X=k）取最大值；
如果（n+1）p不是正整数，当k=[（n+1）p]时，P（X=k）取最大值．…（14分）

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