Question

（2012•广东）在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的离心率e=

2 3

，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．
（1）求椭圆C的方程；
（2）在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由e=

2 3

得a²=3b²，椭圆方程为x²+3y²=3b²，求出椭圆上的点到点Q的距离，利用配方法，确定函数的最大值，即可求得椭圆方程；
（2）假设M（m，n）存在，则有m²+n²＞1，求出|AB|，点O到直线l距离，表示出面积，利用基本不等式，即可确定三角形面积的最大值，从而可求点M的坐标．

解答：解：（1）由e=

2 3

得a²=3b²，椭圆方程为x²+3y²=3b²
椭圆上的点到点Q的距离d=

x2+(y-2)2

=

3b2-3y2+(y-2)2

=

-2y2-4y+4+3b2

(-b≤y≤b)
①当-b≤-1时，即b≥1，dmax=

6+3b2

=3得b=1
②当-b＞-1时，即b＜1，dmax=

b2+4b+4

=3得b=1（舍）
∴b=1
∴椭圆方程为

x2

3

+y2=1
（2）假设M（m，n）存在，则有m²+n²＞1
∵|AB|=2

1- 1 m2+n2

，点O到直线l距离d=

1

m2+n2

∴S△AOB=

1

2

×2

1- 1 m2+n2

×

1

m2+n2

=

1 m2+n2 (1- 1 m2+n2 )

∵m²+n²＞1
∴0＜

1

m2+n2

＜1，∴1-

1

m2+n2

＞0
当且仅当

1

m2+n2

= 1-

1

m2+n2

，即m²+n²=2＞1时，S_△AOB取最大值

1

2

，
又∵

m2

3

+n2=1
解得：m2=

3

2

，n2=

1

2

所以点M的坐标为(

6

2

，

2

2

)或(-

6

2

，

2

2

)或(

6

2

，-

2

2

)或(-

6

2

，-

2

2

)，△AOB的面积为

1

2

．

点评：本题考查椭圆的标准方程，考查三角形面积的求解，考查基本不等式的运用，正确表示三角形的面积是关键．