Question

已知函数y=f（x）满足方程f（x）+（x-3）f（1）=x³+x-4（x∈R）．
（I）求f（x）的解析式；
（II）若函数y=f（x）在区间[-1，m]上的值域为[2-

2 3

9

，2+

2 3

9

]，试确定m的取值范围；
（III）记g（x）=f（x）-bx²+（2c+1）x-2，若g'（x）的两个零点x₁，x₂满足x₁≠x₂，且x₁，x₂∈[-1，2]，求b+2c的取值范围．

Answer 1

分析：（I）令x=1，求出f（1）的值，然后代入，即可求出函数的解析式；
（II）先利用导数研究函数的单调性，然后结合图形可知由f（x）=2+

2 3

9

，解得x的值即可求出m的范围；
（III）根据g′（x）=0在[-1，2]上有两个不等的实根，建立a、b的约束关系，画出区域，根据线性规划的知识可求出b+2c的取值范围．

解答：解：（I）令x=1得f（1）-2f（1）=-2
解得f（1）=2
∴f（x）=x³-x+2
（II）f′（x）=3x²-1，由f′（x）＞0
解得x＞

3

3

或x＜-

3

3

由f′（x）＞0
解得-

3

3

＜x＜

3

3

∴f（x）在（-∞，-

3

3

），（

3

3

，+∞）上是增函数，
在（-

3

3

，

3

3

）上是减函数
f（x）极大值为f（-

3

3

）=2+

2 3

9

f（x）极小值为f（

3

3

）=2-

2 3

9

由f（x）=2+

2 3

9

，解得x=-

3

3

或x=

2 3

3

∴m的取值范围是[-

3

3

，

2 3

3

]
（III）g（x）=f（x）-bx²+（2c+1）x-2=x³-bx²+2cx
g′（x）=3x²-2bx+2c
依题意g′（x）=0在[-1，2]上有两个不等的实根
∴

△=4b2-4•3•2c＞0 -1＜- -2b 2×3 ＜2 g′(-1)≥0 g′(2)≥0

画出（b、c）的可行域
b+2c∈[-

9

2

，18）

点评：本题主要考查了函数的解析式以及利用导数研究函数的单调性和极值，同时考查了利用线性规划求取值范围，属于中档题．