Question

设双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F₁、F₂，离心率为e，过F₂的直线与双曲线的右支交于A、B两点，若△F₁AB是以A为直角顶点的等腰直角三角形，则e²=

 

．

Answer 1

分析：设|AF₁|=|AB|=m，计算出|AF₂|=（1-

2

2

）m，再利用勾股定理，即可建立a，c的关系，从而求出e²的值．

解答：解：设|AF₁|=|AB|=m，
则|BF₁|=

2

m，|AF₂|=m-2a，|BF₂|=

2

m-2a，
∵|AB|=|AF₂|+|BF₂|=m，
∴m-2a+

2

m-2a=m，
∴4a=

2

m，
∴|AF₂|=（1-

2

2

）m，
∵△AF₁F₂为Rt三角形，
∴|F₁F₂|²=|AF₁|²+|AF₂|²
∴4c²=（

5

2

-

2

）m²，
∵4a=

2

m，
∴4c²=（

5

2

-

2

）×8a²，
∴e²=5-2

2

．
故答案为：5-2

2

．

点评：本题考查双曲线的标准方程与性质，考查双曲线的定义，解题的关键是确定|AF₂|，从而利用勾股定理求解．