Question

已知等差数列{a_n}中，a₁=1，公差d＞0，且a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
（1）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（2）设数列{c_n}满足对任意的n∈N^*均有a_n+1=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n成立，求证：c₁+c₂+…+c_n＜4．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：点列、递归数列与数学归纳法

分析：（1）根据等差数列性质，即可求数列的通项公式；
（2）求出c_n的通项公式，利用作差法即可求数列{c_n}的前n项和，即可证明不等式．

解答： 解：（1）∵a₂，a₅，a₁₄分别是等比数列{b_n}的第二项、第三项、第四项．
∴（1+4d）²=（1+d）（1+13d），
∴d=2或d=0（舍去），
则a_n=2n-1．
又b₂=a₂=3，b₃=a₅=9，
则公比q=3，即b_n=3^n-1．
（2）证明：当n=1时，a₂=b₁c₁，
∴c₁=3＜4，
当n≥2，a_n+1=b₁c₁+b₂c₂+…+b_nc_n，
a_n=b₁c₁+b₂c₂+…+b_n-1c_n-1，
两式相减得a_n+1-a_n=b_nc_n，
即c_n=

an+1-an

bn

=

2

3n-1

，（n≥2）
∴c₁+c₂+…+c_n=3+

2 3 (1- 1 3n-1 )

1- 1 3

=4-

1

3n-1

＜4成立，
所以，对于任意的c₁+c₂+…+c_n＜4．

点评：本题主要考查递推数列的应用，以及数列求和，综合性较强，运算量较大．