Question

设数列{a_n}满足a_n=2a_n-1+1（n≥2），且a₁=1，b_n=log₂（a_n+1）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设数列{

1

bnbn+2

}的前n项和为S_n，证明：Sn＜

3

4

．

Answer 1

分析：（1）由已知可得a_n+1=2（a_n-1+1），数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列，即可求数列{a_n}的通项公式；
（2）先求b_n，代入，再利用裂项求和方法即可证明．

解答：（1）解：因为a_n=2a_n-1+1（n≥2），所以a_n+1=2（a_n-1+1）（n≥2），
所以数列{a_n+1}是以a₁+1=2为首项，以2为公比的等比数列．
所以a_n+1=2•2^n-1=2ⁿ．
所以a_n=2ⁿ-1…（4分）
（2）证明：因为a_n=2ⁿ-1，所以b_n=log₂（a_n+1）=n…（6分）
所以

1

bnbn+2

=

1

n(n+2)

=

1

2

（

1

n

-

1

n+2

）．…（8分）
所以S_n=

1

2

（1-

1

3

+

1

2

-

1

4

+…+

1

n-1

-

1

n+1

+

1

n

-

1

n+2

）=

1

2

(1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

)
=

3

4

-

1

2

(

1

n+1

+

1

n+2

)＜

3

4

．…（12分）

点评：本题主要考查了等比数列的判断与证明，等比数列的通项公式及裂项求和方法的应用，属于中档题．