Question

在斜三棱柱A₁B₁C₁—ABC中，底面是等腰三角形，AB=AC，侧面BB₁C₁C⊥底面ABC.

(1)若D是BC的中点，求证:AD⊥CC₁；

(2)过侧面BB₁C₁C的对角线BC₁的平面交侧棱于M，若AM=MA₁，求证:截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C；

(3)AM=MA₁是截面MBC₁⊥平面BB₁C₁C的充要条件吗？请你叙述判断理由.

Answer 1

(1)证明略 (2)证明略 (3) 结论是肯定的

解析:

(1)证明: ∵AB=AC，D是BC的中点，∴AD⊥BC

∵底面ABC⊥平面BB₁C₁C，∴AD⊥侧面BB₁C₁C

∴AD⊥CC₁.

(2)证明: 延长B₁A₁与BM交于N，连结C₁N

∵AM=MA₁，∴NA₁=A₁B₁

∵A₁B₁=A₁C₁，∴A₁C₁=A₁N=A₁B₁

∴C₁N⊥C₁B₁

∵底面NB₁C₁⊥侧面BB₁C₁C，∴C₁N⊥侧面BB₁C₁C

∴截面C₁NB⊥侧面BB₁C₁C

∴截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C.

(3)解： 结论是肯定的，充分性已由(2)证明，下面证必要性. 

过M作ME⊥BC₁于E，∵截面MBC₁⊥侧面BB₁C₁C

∴ME⊥侧面BB₁C₁C，又∵AD⊥侧面BB₁C₁C. 

∴ME∥AD，∴M、E、D、A共面

∵AM∥侧面BB₁C₁C，∴AM∥DE

∵CC₁⊥AM，∴DE∥CC₁

∵D是BC的中点，∴E是BC₁的中点

∴AM=DE=AA₁，∴AM=MA₁.