Question

如右图所示，一张平行四边形的硬纸片ABC₀D中，AD＝BD＝1，AB＝.沿它的对角线BD把△BDC₀折起，使点C₀到达平面ABC₀D外点C的位置．
(1)证明：平面ABC₀D⊥平面CBC₀；
(2)如果△ABC为等腰三角形，求二面角A－BD－C的大小

Answer 1

(1)证明：因为AD＝BC₀＝BD＝1，
AB＝C₀D＝，
所以∠DBC₀＝90°，∠ADB＝90°.
因为折叠过程中，∠DBC＝∠DBC₀＝90°，
所以DB⊥BC，又DB⊥BC₀，故DB⊥平面CBC₀.
又DB?平面ABC₀D，所以平面ABC₀D⊥平面CBC₀.
(2)法一：如右图，延长C₀B到E，使BE＝C₀B，连结AE，CE.
因为AD綊BE，BE＝1，DB＝1，∠DBE＝90°，所以AEBD为正方形，AE＝1.
由于AE，DB都与平面CBC₀垂直，所以AE⊥CE，可知
AC＞1.
因此只有AC＝AB＝时，△ABC为等腰三角形．
在Rt△AEC中，CE＝＝1，又BC＝1，
所以△CEB为等边三角形，∠CBE＝60°.
由(1)可知，BD⊥BC，BD⊥BE，所以∠CBE为二面角A－BD－C的平面角，即二面角A－BD－C的大小为60°.
法二：以D为坐标原点，射线DA，DB分别为x轴正半轴和y轴正

半轴，建立如右图的空间直角坐标系D－xyz，则
A(1,0,0)，B(0,1,0)，D(0,0,0)．
由(1)可设点C的坐标为(x,1，z)，其中z＞0，则有
x²＋z²＝1.①
因为△ABC为等腰三角形，所以AC＝1或AC＝.
若AC＝1，则有(x－1)²＋1＋z²＝1.
由此得x＝1，z＝0，不合题意．
若AC＝，则有(x－1)²＋1＋z²＝2.②
联立①和②得x＝，z＝.
故点C的坐标为.
由于DA⊥BD，BC⊥BD，所以与夹角的大小等于二面角A－BD－C的大小．
又＝(1,0,0)，＝，
cos〈，〉＝＝.
所以〈，〉＝60°，即二面角A－BD－C的大小为60°  

略