【题目】数列{an}满足a1=1,nan+1=(n+1)an+n(n+1),n∈N* . (Ⅰ)证明:数列{ }是等差数列;
(Ⅱ)设bn=3n ,求数列{bn}的前n项和Sn .
【答案】证明(Ⅰ)∵nan+1=(n+1)an+n(n+1), ∴ ,
∴ ,
∴数列{ }是以1为首项,以1为公差的等差数列;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, ,
∴ ,
bn=3n =n3n ,
∴ 3n﹣1+n3n①
3n+n3n+1②
① ﹣②得 3n﹣n3n+1
=
=
∴
【解析】(Ⅰ)将nan+1=(n+1)an+n(n+1)的两边同除以n(n+1)得 ,由等差数列的定义得证.(Ⅱ)由(Ⅰ)求出bn=3n =n3n , 利用错位相减求出数列{bn}的前n项和Sn .
【考点精析】本题主要考查了等比关系的确定和数列的前n项和的相关知识点,需要掌握等比数列可以通过定义法、中项法、通项公式法、前n项和法进行判断;数列{an}的前n项和sn与通项an的关系才能正确解答此题.
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【题目】如图1,四边形ABCD为直角梯形,AD∥BC,AD⊥AB,AD=1,BC=2,E为CD上一点,F为BE的中点,且DE=1,EC=2,现将梯形沿BE折叠(如图2),使平面BCE⊥ABED.
(1)求证:平面ACE⊥平面BCE;
(2)能否在边AB上找到一点P(端点除外)使平面ACE与平面PCF所成角的余弦值为 ?若存在,试确定点P的位置,若不存在,请说明理由.
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【题目】设椭圆C: =1(a>b>0),椭圆C短轴的一个端点与长轴的一个端点的连线与圆O:x2+y2= 相切,且抛物线y2=﹣4 x的准线恰好过椭圆C的一个焦点. (Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过圆O上任意一点P作圆的切线l与椭圆C交于A,B两点,连接PO并延长交圆O于点Q,求△ABQ面积的取值范围.
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【题目】函数y=f(x)在[0,2]上单调递增,且函数f(x+2)是偶函数,则下列结论成立的是( )
A.f(1)<f( )<f( )??
B.f( )<f(1)<f( )??
C.f( )<f( )<f(1)??
D.f( )<f(1)<f( )
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【题目】在直角坐标系中 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),以原点 为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)写出曲线 的普通方程和极坐标方程;
(2)若直线 与曲线 相交于点 两点,且 ,求证: 为定值,并求出这个定值.
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【题目】在直角坐标系中,直线l的参数方程为 (t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的单位长度,且以原点为极点,x轴的正半轴为极轴)中,圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ.
(1)若直l线与圆C相切,求实数a的值;
(2)若点M的直角坐标为(1,1),求过点M且与直线l垂直的直线m的极坐标方程.
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【题目】微信是腾讯公司推出的一种手机通讯软件,它支持发送语音短信、视频、图片和文字,一经推出便风靡全国,甚至涌现出一批在微信的朋友圈内销售商品的人(被称为微商).为了调查每天微信用户使用微信的时间,某经销化妆品的微商在一广场随机采访男性、女性用户各50 名,其中每天玩微信超过6 小时的用户列为“微信控”,否则称其为“非微信控”,调查结果如下:
微信控 | 非微信控 | 合计 | |
男性 | 26 | 24 | 50 |
女性 | 30 | 20 | 50 |
合计 | 56 | 44 | 100 |
(1)根据以上数据,能否有60%的把握认为“微信控”与”性别“有关?
(2)现从调查的女性用户中按分层抽样的方法选出5 人并从选出的5 人中再随机抽取3 人赠送200 元的护肤品套装,记这3 人中“微信控”的人数为X,试求X 的分布列与数学期望. 参考公式: ,其中n=a+b+c+d.
P(K2≥k0) | 0.50 | 0.40 | 0.25 | 0.05 | 0.025 | 0.010 |
k0 | 0.455 | 0.708 | 1.323 | 3.841 | 5.024 | 6.635 |
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