Question

在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别a，b，c，给出下列结论：
①A＞B＞C，则sinA＞sinB＞sinC；
②若

sinA

a

=

cosB

b

=

cosC

c

，△ABC为等边三角形；
③必存在A，B，C，使tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC成立；
④若a=40，b=20，B=25°，△ABC必有两解．
其中，结论正确的编号为

①④

（写出所有正确结论的编号）．

Answer 1

分析：①由正弦定理，将角转化为边的关系，进而判断，角的正弦值之间的关系．②由正弦定理，得出角的正弦值与余弦值之间的关系，从而求出角，A，B，C的大小．
③利用两角和的正切公式，将不等式进行化简，然后进行判断．④根据边角关系，判断三角形解的个数．

解答：解：①在三角形中，A＞B＞C，得a＞b＞c．，由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

可知sinA＞sinB＞sinC，所以①正确．
②由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

条件知，

cos?B

cos?C

=

sin?B

sin?C

，即sinBcosC=cosBsinC，所以sinBcosC-cosBsinC=sin（B-C）=0，
解得B=C． 所以△ABC为等腰三角形，所以②错误．
③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan（A+B）（1-tanAtanB）+tanC-tanAtanBtanC=-tanC（1-tanAtanB）+tanC-tanAtanBtanC=-tanC．
若C为锐角，则tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC＜0，此时tanAtanBtanC＞tanA+tanB+tanC．
若C为钝角，则tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC＜0，此时tanAtanBtanC＜tanA+tanB+tanC．所以③错误．
④因为asinB=40sin250＜40sin300=40×

1

2

=20，即asinB＜b＜a，所以，△ABC必有两解．所以④正确．
故答案为：①④．

点评：本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断，要求熟练掌握相关的三角公式和定理．