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在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别a,b,c,给出下列结论:
①A>B>C,则sinA>sinB>sinC;
②若
sinA
a
=
cosB
b
=
cosC
c
,△ABC为等边三角形;
③必存在A,B,C,使tanAtanBtanC<tanA+tanB+tanC成立;
④若a=40,b=20,B=25°,△ABC必有两解.
其中,结论正确的编号为
①④
①④
(写出所有正确结论的编号).
分析:①由正弦定理,将角转化为边的关系,进而判断,角的正弦值之间的关系.②由正弦定理,得出角的正弦值与余弦值之间的关系,从而求出角,A,B,C的大小.
③利用两角和的正切公式,将不等式进行化简,然后进行判断.④根据边角关系,判断三角形解的个数.
解答:解:①在三角形中,A>B>C,得a>b>c.,由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
可知sinA>sinB>sinC,所以①正确.
②由正弦定理
a
sinA
=
b
sinB
=
c
sinC
条件知,
cos?B
cos?C
=
sin?B
sin?C
,即sinBcosC=cosBsinC,所以sinBcosC-cosBsinC=sin(B-C)=0,
解得B=C. 所以△ABC为等腰三角形,所以②错误.
③tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC=tan(A+B)(1-tanAtanB)+tanC-tanAtanBtanC=-tanC(1-tanAtanB)+tanC-tanAtanBtanC=-tanC.
若C为锐角,则tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC<0,此时tanAtanBtanC>tanA+tanB+tanC.
若C为钝角,则tanA+tanB+tanC-tanAtanBtanC<0,此时tanAtanBtanC<tanA+tanB+tanC.所以③错误.
④因为asinB=40sin250<40sin300=40×
1
2
=20
,即asinB<b<a,所以,△ABC必有两解.所以④正确.
故答案为:①④.
点评:本题主要考查与三角函数有关的命题的真假判断,要求熟练掌握相关的三角公式和定理.
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(2012•天津)在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知a=2,c=
2
,cosA=-
2
4

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(2)求cos(2A+
π
3
)的值.

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2
2

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3
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2
,则B的大小为(  )

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13
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