Question

在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且，则b的最小值为

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

C
分析：首先利用正弦定理化边为角，可得2RsinBcosC=3×2RsinAcosB-2RsinCcosB，然后利用两角和与差的正弦公式及诱导公式化简求值即可；由向量数量积的定义可得accosB=2，结合已知及余弦定理可得b²=a²+c²-2accosB，然后利用均值不等式求出答案．
解答：由正弦定理得a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC，
则2RsinBcosC=6RsinAcosB-2RsinCcosB，
故sinBcosC=3sinAcosB-sinCcosB，
可得sinBcosC+sinCcosB=3sinAcosB，
即sin（B+C）=3sinAcosB，
可得sinA=3sinAcosB．又sinA≠0，
因此 cosB=．
由 •=，可得accosB=，
又cosB=，故ac=4，
由b²=a²+c²-2accosB，
可得a²+c²≥2ac=8，（当且仅当a=b时取“=”号），
∴b²≥ac=
所以b的最小值为．
故选C
点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、两角和与差的正弦公式、诱导公式、向量数量积的定义等基础知识，考查了基本运算能力．