Question

14．已知数列{a_n}满足a₁=1，a₂=4，a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）．
（1）设b_n=a_n+1-2a_n，证明数列{b_n}既是等差数列又是等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式．

Answer 1

分析 （1）通过对a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*）变形可知a_n+2-2a_n+1=a_n+1-2a_n（n∈N^*），进而可得结论；
（2）通过a₁=1、a₂=4、a_n+2-2a_n+1=a_n+1-2a_n（n∈N^*）可知a_n+1-2a_n=2，进而a_n+1+2=2（a_n+2），进而计算可得结论．

解答 （1）证明：∵a_n+2=3a_n+1-2a_n（n∈N^*），
∴a_n+2-2a_n+1=a_n+1-2a_n（n∈N^*），
即b_n+1=b_n，
∴数列{b_n}既是等差数列又是等比数列；
（2）解：∵a₁=1，a₂=4，
∴a₂-2a₁=4-2=2，
又∵a_n+2-2a_n+1=a_n+1-2a_n（n∈N^*），
∴a_n+1-2a_n=2，
即a_n+1+2=2（a_n+2），
又∵a₁+2=1+2=3，
∴a_n+2=3•2^n-1，
∴a_n=-2+3•2^n-1．

点评 本题考查数列的通项及等差、等比数列的判定，考查运算求解能力，对表达式的灵活变形是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．