Question

已知矩阵M=

2a 21

，其中a∈R，若点P（1，-2）在矩阵M对应的变换下得到点P′（-4，0），如果正实数λ是矩阵M的特征值，α是对应的一个特征向量且|α|=2

13

，求向量λ的值与向量α．

Answer 1

考点：特征值与特征向量的计算

专题：计算题,矩阵和变换

分析：首先根据矩阵的变换列出方程式 求出实数a的值．求出M的矩阵后写出其特征多项式，令f（λ）=0，得矩阵M的特征值，再由条件可得特征值解出特征向量．

解答： 解：由

2 a 2 1

•

1 -2

=

-4 0

，可得，2-2a=-4，解得a=3．
则M=

2 3 2 1

，则矩阵M的特征多项式为f（λ）=

.

λ-2 -3 -2 λ-1

.

=（λ-2）（λ-1）-6=λ²-3λ-4，
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．
由于正实数λ是矩阵M的特征值，则λ=4，
由特征方程组

4x-2x-3y=0 4y-2x-y=0

，解得2x=3y．
由于α是对应的一个特征向量且|α|=2

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，
则

x2+y2

=2

13

，且2x=3y，解得，

x=6 y=4

或

x=-6 y=-4

．
故λ=4，

a

=（6，4）或（-6，-4）．

点评：本题主要考查矩阵与向量的乘法，和矩阵特征值及特征向量的求法．考查计算能力，属于中档题．