Question

已知两圆x²+y²-2x-6y-1=0．x²+y²-10x-12y+m=0．
（1）m取何值时两圆外切？
（2）m取何值时两圆内切？
（3）当m=45时，求两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．

Answer 1

分析：（1）先把两个圆的方程化为标准形式，求出圆心和半径，再根据两圆的圆心距等于两圆的半径之和，求得m的值．
（2）由两圆的圆心距d=

(5-1)2+(6-3)2

=5 等于两圆的半径之差为|

11

-

61-m

，求得m的值．
（3）当m=45时，把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程．求出第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离d，再利用弦长公式求得弦长．

解答：解：（1）由已知可得两个圆的方程分别为（x-1）²+（y-3）²=11、（x-5）²+（y-6）²=61-m，
两圆的圆心距d=

(5-1)2+(6-3)2

=5，两圆的半径之和为

11

+

61-m

，
由两圆的半径之和为

11

+

61-m

=5，可得 m=25+10

11

．
（2）由两圆的圆心距d=

(5-1)2+(6-3)2

=5 等于两圆的半径之差为|

11

-

61-m

|，
即|

11

-

61-m

|=5，可得 

11

-

61-m

=5 （舍去），或 

11

-

61-m

=-5，解得m=25-10

11

．
（3）当m=45时，两圆的方程分别为 （x-1）²+（y-3）²=11、（x-5）²+（y-6）²=16，
把两个圆的方程相减，可得公共弦所在的直线方程为 4x+3y-23=0．
第一个圆的圆心（1，3）到公共弦所在的直线的距离为 d=

|4+9-23|

5

=2，可得弦长为 2

11-4

=2

7

．

点评：本题主要考查两个圆的位置关系的判断方法，点到直线的距离公式、弦长公式的应用，属于中档题．