Question

【题目】对于函数，若存在，使成立，则称为的不动点.已知函数 .

（1）当，时，求函数的不动点；

（2）若对任意实数，函数恒有两个相异的不动点，求的取值范围；

（3）在（2）的条件下，若的两个不动点为，，且，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）－1、4为的不动点；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据不动点定义得到方程，解方程求得结果；（2）将问题转化为恒有两个不等实根，利用判别式得到满足的不等式，将其看做关于的二次函数，可知当时，函数取最小值，从而得到关于的不等式，求解得到结果；（3）利用已知得到，根据对号函数的性质求得最值即可得到所求范围.

（1）由题意知：

设为不动点，因此

解得：或

所以、为的不动点.

（2）因为恒有两个不动点

即恒有两个不等实根

整理为： 恒成立

即对于任意，恒成立

令，则

，解得：

（3）

，