Question

3．用定义证明函数y=x+$\frac{1}{x}$在（1，+∞）上为增函数．

Answer 1

分析 利用单调性的定义来证明，基本步骤是取值、作差、判正负和下结论．

解答 证明：任取区间[1，+∞）上两个实数x₁，x₂，且x₁＜x₂
∴x₁-x₂＜0，x₁x₂＞1，x₁x₂-1＞0；
∴f（x₁）-f（x₂）=（x₁+$\frac{1}{{x}_{1}}$）-（x₂+$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+（$\frac{1}{{x}_{1}}$-$\frac{1}{{x}_{2}}$）
=（x₁-x₂）+$\frac{{x}_{2}{-x}_{1}}{{{x}_{1}x}_{2}}$
=（x₁-x₂）（1-$\frac{1}{{{x}_{1}x}_{2}}$）
=$\frac{{（x}_{1}{-x}_{2}）{{（x}_{1}x}_{2}-1）}{{{x}_{1}x}_{2}}$＜0，
即f（x₁）＜f（x₂）；
∴函数f（x）=x+$\frac{1}{x}$在区间[1，+∞）上是增函数．

点评 本题考查了利用函数的单调性定义来证明单调性问题，其关键步骤是作差后的因式分解，是基础题目．