Question

已知半径为2的圆的圆心C在x轴上，圆心C的横坐标是非负整数，且与直线4x+3y+10=0相切．
（Ⅰ）求圆C的方程；
（Ⅱ）设直线l：y=kx+1与圆相交于P、Q两点，若

OP

•

OQ

=-2，求k的值；
（Ⅲ）已知直线l：y=kx+1，过点（0，1）作直线l₁与l垂直，且直线l₁与圆C交于M、N两点，求四边形PQMN面积的最大值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）设圆心M的坐标为（m，0），且m是整数，由圆C与已知直线垂直，得到圆心到直线的距离等于圆的半径，利用点到直线的距离公式列出关于m的方程，求出方程的解得到m的值，进而确定出圆C的方程；
（Ⅱ）

OP

•

OQ

=-2可求得∠POQ，进而求出圆心到直l：kx-y+1=0的距离，再去求k．
（Ⅲ）设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，四边形PMQN的面积S，直线l，l₁都经过点（0，1），且l⊥l₁，根据题勾股定理，知d₁²+d²=1，又根据垂径定理和勾股定理，得到|PQ|=2，|MN|=2，由此能求出四边形PMQN面积的大值．

解答：解：（1）设圆心为M（m，0）（m∈Z），
∵圆C与直线4x+3y+10=0相切，且半径为2，
∴圆心，到直线4x+3y+10=0的距离d=r，即

|4m+10|

5

=2，即|4m+10|=10，
∵m圆心C的横坐标是非负整数，∴m=0，
则所求圆的方程为x²+y²=4；
（Ⅱ）因为，

OP

•

OQ

=2×2cos＜

OP

，

OQ

＞=-2，
所以，COS∠POQ=-

1

2

，∠POQ=120°，
所以圆心到直l：kx-y+1=0的距离d=1，d=

1

1+k2

，所以 k=0．
（Ⅲ）设圆心O到直线l，l₁的距离分别为d，d₁，
四边形PMQN的面积S，
∵直线l，l₁都经过点（0，1），且l⊥l₁，

根据题勾股定理，知d₁²+d²=1，
又根据垂径定理和勾股定理，得到
|PQ|=2

4-d 2

，|MN|=2

4-d12

，
而S=

1

2

|PQ|•|MN|，
即S=

1

2

×2×

4-d 2

×2×

4-d12

=2

16-4(d2+d12)+d2d12

=2

12+d2d12

≤2

12+( d2+d12 2 )2

=2

12+ 1 4

=7．
当且仅当d₁=d时，等号成立，
所以S的最大值为7．

点评：此题考查了直线与圆相交的性质，以及直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，一元二次方程根的判别式与解的关系，一元二次不等式的解法，解题的关键是：当直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径；将直线与圆的方程联立消去y后，得到关于x的一元二次方程，此一元二次方程的解的个数决定了直线与圆交点的个数．与圆有关的比例线段，是中档题．解题时要认真审题，注意垂径定理和勾股定理的灵活运用．