【题目】在直角坐标系中,已知中心在原点,离心率为的椭圆的一个焦点为圆: 的圆心.
(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)设是椭圆上一点,过作两条斜率之积为的直线, ,当直线, 都与圆相切时,求的坐标.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ),或,或,或.
【解析】试题分析:(1)圆心坐标是已知的,故椭圆的焦点是已知的,从而半焦距已知了,又有离心率,故半长轴长也能求出,从而求出,而根据题意,椭圆方程是标准方程,可其方程易得;(2)设P点坐标为,再设一条切线的斜率为,则另一条切线的斜率为,三个未知数需要三个方程,点P在椭圆上,一个等式,两条直线都圆的切线,利用圆心到切线的距离等于圆的半径又得到两个等式,三个等量关系,三个未知数理论上可解了,当然具体解题时,可设切线斜率为,则点斜率式写出直线方程,利用圆心到切线距离等于圆半径得出关于的方程,而是这个方程的两解,由韦达定理得,这个结果又是,就列出了关于P点坐标的一个方程,再由P点在椭圆上,可解出P点坐标.
试题解析:(1)圆的标准方程为,圆心为,所以,又, , ,而据题意椭圆的方程是标准方程,故其方程为.4分
(2)设,得
∵,依题意到的距离为
整理得同理
∴是方程的两实根10分
12分
∴14分
16分
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【题目】某印刷厂为了研究印刷单册书籍的成本y(单位:元)与印刷册数x(单位:千册)之间的关系,在印制某种书籍时进行了统计,相关数据见下表:
根据以上数据,技术人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型,得到了两个回归方程,甲:
为了评价两种模型的拟合效果,完成以下任务:
(1)(ⅰ)完成下表(计算结果精确到0.1):
(ⅱ)分别计算模型甲与模型乙的残差平方和及,并通过比较,的大小,判断哪个模型拟合效果更好.
(2)该书上市后,受到广大读者的热烈欢迎,不久便全部售罄,于是印刷厂决定进行二次印刷,根据市场调查,新需求量为8千册(概率为0.8)或10千册(概率为0.2),若印刷厂以没测5元的价格将书籍出售给订货商,问印刷厂二次印刷8千册还是10千册恒获得更多的利润?(按(1)中拟合效果较好的模型计算印刷单册书的成本)
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【题目】已知函数f(x)=loga(1﹣x)+loga(x+3),其中0<a<1.
(1)求函数f(x)的定义域;
(2)若函数f(x)的最小值为﹣4,求a的值.
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【题目】已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且2csinBcosA﹣bsinC=0.
(1)求角A;
(2)若△ABC的面积为 ,b+c=5,求a.
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【题目】设椭圆的左顶点为,且椭圆与直线相切,
(1)求椭圆的标准方程;
(2)过点的动直线与椭圆交于两点,设为坐标原点,是否存在常数,使得?请说明理由.
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【题目】已知F1 , F2为椭圆C: =1(a>b>0)的左右焦点,O是坐标原点,过F2作垂直于x轴的直线MF2交椭圆于M,设|MF2|=d.
(1)证明:b2=ad;
(2)若M的坐标为( ,1),求椭圆C的方程.
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【题目】已知函数f(x)=x2﹣2x(x∈[﹣1,2])的值域为集合A,g(x)=ax+2(x∈[﹣1,2])的值域为集合B.若AB,则实数a的取值范围是 .
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【题目】设f(x)=|x+1|+|x﹣1|.
(1)求f(x)≤x+2的解集;
(2)若不等式f(x)≤log2(a2﹣4a+12)对任意实数a恒成立,求x的取值范围.
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