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    （2013•房山区一模）对于实数x，将满足“0≤y＜1且x-y为整数”的实数y称为实数x的小数部分，用记号＜x＞表示．例＜1.2＞=0.2，＜-1.2＞=0.8，＜
    8
    7
    ＞=
    1
    7
    ．对于实数a，无穷数列{an}满足如下条件：a1=＜a＞，an+1=
    ＜
    1
    an
    ＞ an≠0
    0        an=0
    ，其中n=1，2，3，…．
    （Ⅰ）若a=
    		2
    ，求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）当a＞
    1
    4
    时，对任意的n∈N+，都有an=a，求符合要求的实数a构成的集合A；
    （Ⅲ）若a是有理数，设a=
    p
    q
     （p是整数，q是正整数，p，q互质），对于大于q的任意正整数n，是否都有an=0成立，证明你的结论．
    分析：（I）利用新定义，可求数列{an}的通项公式；
    （Ⅱ）分类讨论，利用n=a，即可求符合要求的实数a构成的集合A；
    （Ⅲ）由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，可设an=
    pn
    qn
    （pn是非负整数，qn是正整数，且pn，qn互质），利用反证法可得结论．
    解答：（Ⅰ）解：a1=?
    		2
    ＞=
    		2
    -1    ，a2=?
    1
    a1
    ＞=?
    1
    		2
    -1
    ＞=?
    		2
    +1＞=
    		2
    -1    …．（2分）
    若ak=
    		2
    -1    ，则ak+1=[
    1
    ak
    ]=[
    		2
    +1]=
    		2
    -1
    所以an=
    		2
    -1    …（3分）
    （Ⅱ）解：∵a1=?a＞=a，a＞
    1
    4
    所以
    1
    4
    ＜a＜1    ，从而1＜
    1
    a
    ＜4
    ①当
    1
    2
    ＜a＜1    ，即1＜
    1
    a
    ＜2    时，a2=?
    1
    a1
    ＞=?
    1
    a
    ＞=
    1
    a
    -1=a
    所以a2+a-1=0
    解得：a=
    -1+
    		5
    2
    ，（a=
    -1-
    		5
    2
    ∉(
    1
    2
    ，1)    ，舍去）         …．（4分）
    ②当
    1
    3
    ＜a≤
    1
    2
    ，即2≤
    1
    a
    ＜3    时，a2=?
    1
    a1
    ＞=?
    1
    a
    ＞=
    1
    a
    -2=a    ，
    所以a2+2a-1=0
    解得a=
    -2+
    		8
    2
    =
    		2
    -1    ，（a=-
    		2
    -1∉(
    1
    3
    ，
    1
    2
    ]    ，舍去）  …（5分）
    ③当
    1
    4
    ＜a≤
    1
    3
    时，即3≤
    1
    a
    ＜4    时，a2=?
    1
    a1
    ＞=?
    1
    a
    ＞=
    1
    a
    -3=a
    解得a=
    -3+
    		13
    2
    （a=
    -3-
    		13
    2
    ∉(
    1
    4
    ，
    1
    3
    ]    ，舍去）      …（6分）
    综上，集合A={
    -1+
    		5
    2
    ，
    		2
    -1    ，
    -3+
    		13
    2
    }．…（7分）
    （Ⅲ）证明：结论成立．…（8分）
    由a是有理数，可知对一切正整数n，an为0或正有理数，
    可设an=
    pn
    qn
    （pn是非负整数，qn是正整数，且pn，qn互质）
    由a1=?
    p
    q
    ＞=
    p1
    q1
    ，可得0≤p1＜q；           …（9分）
    若pn≠0，设qn=αpn+β（0≤β＜pn，α，β是非负整数）
    则
    qn
    pn
    =α+
    β
    pn
    ，而由an=
    pn
    qn
    得
    1
    an
    =
    qn
    pn

    an+1=?
    1
    an
    ＞=?
    qn
    pn
    ＞=
    β
    pn
    ，故pn+1=β，qn+1=pn，可得0≤pn+1＜pn …（11分）
    若pn=0则pn+1=0，
    若a1，a2，…，aq均不为0，则正整数pn（n=1，2，3，…，q）互不相同且都小于q，
    但小于q的正整数共有q-1个，矛盾．
    故a1，a2，…，aq中至少有一个为0，即存在m（1＜m≤q），使得am=0．
    从而数列{an）中am以及它之后的项均为0，
    所以对于大于q的自然数n，都有an=0   …（13分）
    点评：本题考查数列递推式，考查反证法的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．
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    ①{
    n
    n+1
    |n∈N}    ；    
    ②{
    2
    n
    |n∈N*}    ；    
    ③Z；    
    ④{y|y=2x}．

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    （2013•房山区一模）已知函数f(x)=
    1
    2
    x2-alnx-
    1
    2
    (a∈R，a≠0)    ．
    （Ⅰ）当a=2时，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；
    （Ⅱ）求函数f（x）的单调区间；
    （Ⅲ）若对任意的x∈[1，+∞），都有f（x）≥0成立，求a的取值范围．

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    （2013•房山区一模）在四棱锥P-ABCD中，侧面PAD⊥底面ABCD，ABCD为直角梯形，BC∥AD，∠ADC=90°，BC=CD=
    12
    AD=1    ，PA=PD，E，F为AD，PC的中点．
    （Ⅰ）求证：PA∥平面BEF；
    （Ⅱ）若PC与AB所成角为45°，求PE的长；
    （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

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