Question

已知定点F₁（-2，0），F₂（2，0），N是圆O：x²+y²=1上任意一点，点F₁关于点N的对称点为M，线段F₁M的中垂线与直线F₂M相交于点P，则点P的轨迹是（ ）
A．椭圆
B．双曲线
C．抛物线
D．圆

Answer 1

【答案】分析：由N是圆O：x²+y²=1上任意一点，可得ON=1，且N为MF₁的中点可求MF₂，结合已知由垂直平分线的性质可得PM=PF₁，从而可得|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2为定值，由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线
解答：解：连接ON，由题意可得ON=1，且N为MF₁的中点∴MF₂=2
∵点F₁关于点N的对称点为M，线段F₁M的中垂线与直线F₂M相交于点P
由垂直平分线的性质可得PM=PF₁
∴|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2＜F₁F₂
由双曲线的定义可得点P得轨迹是以F₁，F₂为焦点的双曲线
故选：B
点评：本题以圆为载体，考查了利用双曲线的定义判断圆锥曲线的类型的问题，解决本题的关键是由N为圆上一点可得ON=1，结合N为MF₁的中点，由三角形中位线的性质可得MF₂=2，还要灵活应用垂直平分线的性质得到解决本题的第二个关键点|PF₂-PF₁|=|PF₂-PM|=MF₂=2＜F₁F₂，从而根据圆锥曲线的定义可求解，体现了转化思想的应用．