Question

已知S_n是数列{a_n}的前n项和，a_n＞0，Sn=

a 2 n +an

2

，n∈N^*，
（1）求证：{a_n}是等差数列；
（2）若数列{b_n}满足b₁=2，bn+1=2an+bn，求数列{b_n}的通项公式b_n．

Answer 1

分析：（1）由Sn=

a 2 n +an

2

，知a₁=1，Sn=

a 2 n +an

2

，Sn-1=

a2n-1+an-1

2

，故（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能够证明{a_n}是等差数列．
（2）由（1）知a_n=n，bn+1=2an+bn，由此利用累加法能够求出数列{b_n}的通项公式b_n．

解答：（本小题满分15分）
解：（1）∵Sn=

a 2 n +an

2

，n∈N^*，
∴当n=1时，2a1=a12+a1，
解得a₁=1或a₁=0（舍去）…（2分）
当n≥2时，Sn=

a 2 n +an

2

…①
Sn-1=

a2n-1+an-1

2

…②
①-②得：a2n-a2n-1-an-an-1=0…（2分）
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1．
所以{a_n}是等差数列．…（3分）
（2）由（1）知a_n=1+（n-1）×1=n…（1分）
bn+1=2an+bn，
b₂-b₁=2，
b3-b2=22，
…
bn-bn-1=2n-1，
以上各式相加得：bn-b1=2+22+…+2n-1=

2(1-2n-1)

1-2

…（6分）
∴bn=2n…（1分）

点评：本题考查等差数列的证明，考查数列的通项公式的求法．解题时要认真审题，仔细解答，注意累加法的合理运用．