A. | (2,3) | B. | [2,3) | C. | $({\frac{9}{4},3})$ | D. | $[{\frac{9}{4},3})$ |
分析 根据题中的条件得到函数的解析式为:f(x)=3m+1-x,x∈(3m,3m+1],在直角坐标系中画出f(x)的图象和直线y=k(x-1),根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k的范围.
解答 解:因为对任意的x∈(1,+∞)恒有f(3x)=3f(x)成立,
所以f(t)=3f($\frac{t}{3}$),
取x∈(3m,3m+1],则$\frac{x}{{3}^{m}}$∈(1,3],
因为当x∈(1,3]时,f(x)=3-x,
所以f($\frac{x}{{3}^{m}}$)=3-$\frac{x}{{3}^{m}}$,则f(x)=…=3mf($\frac{x}{{3}^{m}}$)=3m+1-x,
且y=k(x-1)的函数图象是过定点(1,0)的直线,
在直角坐标系中画出f(x)的图象和直线y=k(x-1):
因为函数g(x)=f(x)-k(x-1),且函数g(x)恰好有两个零点,
所以f(x)的图象和直线y=k(x-1)恰好由两个交点,
由图得,直线y=k(x-1)处在两条红线之间,且过(3,6)的直线取不到,
因$\frac{6-0}{3-1}=3$,$\frac{18-0}{9-1}=\frac{9}{4}$,所以k的范围是[$\frac{9}{4}$,3),
故选:D.
点评 本题考查了求函数解析式的方法,函数的图象与函数的性质,以及函数零点的转化,考查了数形结合思想,化简、变形能力,属于难题.
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A. | 充分非必要条件 | B. | 必要非允分条件 | ||
C. | 非充分非必要条件 | D. | 充要条件 |
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A. | {0} | B. | {0,1} | C. | {0,1,2} | D. | {0,1,2,4} |
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A. | $\frac{1}{3}$ | B. | $\frac{2}{3}$ | C. | $\frac{1}{4}$ | D. | $\frac{2}{9}$ |
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