Question

10．定义在（1，+∞）上的函数f（x）同时满足：
①对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立；
②当x∈（1，3]时，f（x）=3-x．
记函数g（x）=f（x）-k（x-1），若函数g（x）恰好有两个零点，则实数k的取值范围是（　　）

• A． （2，3）
• B． [2，3）
• C． $（{\frac{9}{4}，3}）$
• D． $[{\frac{9}{4}，3}）$

Answer 1

分析 根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）=3^m+1-x，x∈（3^m，3^m+1]，在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x-1），根据函数的图象、题意、斜率公式求出实数k的范围．

解答 解：因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（3x）=3f（x）成立，
所以f（t）=3f（$\frac{t}{3}$），
取x∈（3^m，3^m+1]，则$\frac{x}{{3}^{m}}$∈（1，3]，
因为当x∈（1，3]时，f（x）=3-x，
所以f（$\frac{x}{{3}^{m}}$）=3-$\frac{x}{{3}^{m}}$，则f（x）=…=3^mf（$\frac{x}{{3}^{m}}$）=3^m+1-x，
且y=k（x-1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，
在直角坐标系中画出f（x）的图象和直线y=k（x-1）：
因为函数g（x）=f（x）-k（x-1），且函数g（x）恰好有两个零点，
所以f（x）的图象和直线y=k（x-1）恰好由两个交点，
由图得，直线y=k（x-1）处在两条红线之间，且过（3，6）的直线取不到，
因$\frac{6-0}{3-1}=3$，$\frac{18-0}{9-1}=\frac{9}{4}$，所以k的范围是[$\frac{9}{4}$，3），
故选：D．

点评 本题考查了求函数解析式的方法，函数的图象与函数的性质，以及函数零点的转化，考查了数形结合思想，化简、变形能力，属于难题．