Question

在棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，（如图）E是棱C₁D₁的中点，F是侧面AA₁D₁D的中心．
（1）求三棱锥A₁-D₁EF的体积；
（2）求EF与底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小．（结果可用反三角函数表示）

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知中棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱C₁D₁的中点，F是侧面AA₁D₁D的中心，我们利用等体积法，可得三棱锥A₁-D₁EF的体积等于三棱锥E-D₁A₁F的体积，分别求出其底面面积和高，代入棱锥的体积公式，即可得到答案．
（2）取A₁D₁的中点G，易得FG⊥平面A₁B₁C₁D₁，根据线面夹角的定义可得∠GEF即为EF与底面A₁B₁C₁D₁所成的角的平面角，解Rt△GEF即可得到EF与底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小．
解答：解：（1）．（6分）（体积公式正确3分）
（2）取A₁D₁的中点G，则FG⊥平面A₁B₁C₁D₁，EF在底面A₁B₁C₁D₁的射影为GE，所求的角的大小等于∠GEF的大小，（8分）
在Rt△GEF中，所以EF与底面A₁B₁C₁D₁所成的角的大小是．（12分）
点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面所成的角，其中（1）的关键是利用等体积法，将求三棱锥A₁-D₁EF的体积转化为求三棱锥E-D₁A₁F的体积，降低运算的难度，（2）的关键是确定出∠GEF即为EF与底面A₁B₁C₁D₁所成的角的平面角．