Question

【题目】某居民区有一个银行网点（以下简称“网点”），网点开设了若干个服务窗口，每个窗口可以办理的业务都相同，每工作日开始办理业务的时间是8点30分，8点30分之前为等待时段.假设每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率都相等，且每位储户是否在该时段到网点相互独立.根据历史数据，统计了各工作日在等待时段到网点等待办理业务的储户人数，得到如图所示的频率分布直方图：

（1）估计每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值；

（2）假设网点共有1000名储户，将频率视作概率，若不考虑新增储户的情况，解决以下问题：

①试求每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率；

②储户都是按照进入网点的先后顺序，在等候人数最少的服务窗口排队办理业务.记“每工作日上午8点30分时网点每个服务窗口的排队人数（包括正在办理业务的储户）都不超过3”为事件，要使事件的概率不小于0.75，则网点至少需开设多少个服务窗口？

参考数据：；；

；.

Answer 1

【答案】（1）10（2）①0.01②4

【解析】

（1）先求出各组的频率，根据均值公式得出平均值；

（2）①在等待时段到网点等待办理业务的储户人数服从，根据期望得出概率；

②先求出，然后与参考数据进行对比，得出整数的最值.

（1）根据频率分布直方图，各组的频率依次为：0.04，0.24，0.48，0.16，0.08，

故所求的平均值为： .

即每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数的平均值为10.

（2）①设在等待时段到网点等待办理业务的储户人数为，

每位储户到网点办理业务的概率为，则，

所以的数学期望，

将频率视作概率，根据（1）的结论，所以，解得.

即每位储户在等待时段到网点等待办理业务的概率为0.01.

②由①知，，则.

设网点共开设了个服务窗口，

则事件即“每工作日等待时段到网点等待办理业务的储户人数不超过”，

其概率为，

所以满足的最小正整数，即为所求.

因为 ，

，

所以，即为的最小值.

所以根据要求，网点至少需开设4个服务窗口.