Question

设f(x)=

1

3

x3-

1

2

ax2+(a-1)x（a∈R）．
（1）若x=1是函数f（x）的极大值点，求a的取值范围；
（2）若在x∈[1，3]上至少存在一个x₀，使f（x₀）≥2成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）求出f（x）的导数，根据x=1是f （x）的极大值点，令导函数等于0的另一个根大于极大值点x=1，列出不等式，求出实数a的取值范围．
（2）问题等价于（f（x））_max≥2，下面对a进行分类讨论：①当a＞2时，②当a≤2时，分别求得a的取值范围，最后由①②综合得出a的取值范围即可．

解答：解：（1）f′（x）=x²-ax+a-1=（x-1）[x-（a-1）]，令f'（x）=0，则x=1或a-1．
当a＞2时，f（x）在（-∞，1）单调递增，（1，a-1）单调递减，（a-1，+∞）单调递增，所
以x=1是函数f（x）的极大值点；
当a=2时，f（x）在（-∞，+∞）单调递增，所以不存在极值点；
当a＜2时，在（-∞，a-1）单调递增，（a-1，1）单调递减，（1，+∞）单调递增．
所以x=1是函数f（x）的极小值点；
综上所述，使x=1为函数f（x）的极大值点，则a＞2；…（7分）
（2）问题等价于（f（x））_max≥2
①当a＞2时，f（x）在x∈[1，3]上的最大值f（x）_max=max{f（1），f（3）}，f(1)=

a

2

-

2

3

，f(3)=-

3a

2

+6，
当

f(1)≥f(3) f(1)≥2 a＞2

⇒

a 2 - 2 3 ≥- 3a 2 +6 a 2 - 2 3 ≥2 a＞2

⇒

a≥ 10 3 a≥ 16 3 a＞2

⇒a≥

16

3

；
当

f(1)＜f(3) f(3)≥2 a＞2

⇒

a 2 - 2 3 ＜- 3a 2 +6 - 3a 2 +6≥2 a＞2

⇒

a＜ 10 3 a≤ 8 3 a＞2

⇒2＜a≤

8

3

所以a≥

16

3

或2＜a≤

8

3

，…（12分）
②当a≤2时，f（x）在x∈[1，3]上单调递增，f(x)max=f(3)=-

3a

2

+6≥2
得a≤

8

3

且a≤2，所以a≤2…（14分）
由①②知：a的取值范围是a≥

16

3

或a≤

8

3

…（15分）

点评：利用导数求函数的极值时，令导数等于0，然后判断根左右两边的导函数符号，导函数符号先正后负，根为极大值；导函数符号先负后正，根为极小值．