【题目】已知函数, .
(1)令,讨论函数的单调性;
(2)若对任意,都有恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1)时, 在递增, 递减; 时, 在递增;
时, 在和递增, 递减; 时, 在和递增, 递减;(2).
【解析】试题分析:(1)求出函数的解析式和定义域,求导,对实数分情况讨论得出单调性;(2)若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),
只需 即可,由(1)中的单调性,求出的最小值,再求出的范围。
试题解析:(1)解:h(x)=f(x)-g(x)= ,定义域为
,(x>0)
a0时, >0得x>1; <0得0<x<1.
所以h(x)在(1, )递增,(0,1)递减
a=1时, ,所以h(x)在(0, )递增
0<a<1时, >0得0<x<a,或x>1; <0得a<x<1.所以h(x)在(0,a)和(1, )递增,(a,1)递减
a>1时, >0得0<x<1,或x>a; <0得1<x<a. 所以h(x)在(0,1)和(a, )递增,(1,a)递减
综上: a 0时,h(x)在(1, )递增,(0,1)递减
a=1时,h(x)在(0, )递增
0<a<1时,h(x)在(0,a)和(1, )递增,(a,1)递减
a>1时,h(x)在(0,1)和(a, )递增,(1,a)递减
(2) 若任意 ,都有恒成立。令h(x)= f(x)- g(x),
只需 即可
由(1)知, 时,h(x)在递增, =h(1)=4-a 0,解得a 4.又,所以 ,
ae时,h(x)在递减, =h(e)= 解得,又ae,所以 ,1<a<e时,h(x)在递减, 递增。=h(a)=a-(a+1)lna-1+3=a+2-(a+1)lna 0
因为 ,所以h(a)在(1,e)递减。所以,则h(a) 0恒成立,所以1<a<e ,综上:a .
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【题目】某高中有高一新生500名,分成水平相同的两类教学实验,为对比教学效果,现用分层抽样的方法从两类学生中分别抽取了40人,60人进行测试
(1)求该学校高一新生两类学生各多少人?
(2)经过测试,得到以下三个数据图表:
图1:75分以上两类参加测试学生成绩的茎叶图
图2:100名测试学生成绩的频率分布直方图
下图表格:100名学生成绩分布表:
①先填写频率分布表中的六个空格,然后将频率分布直方图(图2)补充完整;
②该学校拟定从参加考试的79分以上(含79分)的类学生中随机抽取2人代表学校参加市比赛,求抽到的2人分数都在80分以上的概率.
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【题目】【2018河北保定市上学期期末调研】已知点到点的距离比到轴的距离大1.
(I)求点的轨迹的方程;
(II)设直线: ,交轨迹于、两点, 为坐标原点,试在轨迹的部分上求一点,使得的面积最大,并求其最大值.
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【题目】工厂需要围建一个面积为512的矩形堆料场,一边可以利用原有的墙壁,其他三边需要砌新的墙壁.我们知道,砌起的新墙的总长度(单位: )是利用原有墙壁长度(单位: )的函数.
(1)写出关于的函数解析式,确定的取值范围.
(2)堆料场的长、宽之比为多少时,需要砌起的新墙用的材料最省?
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【题目】设函数f(x)=|x﹣4|,g(x)=|2x+1|.
(1)解不等式f(x)<g(x);
(2)若2f(x)+g(x)>ax对任意的实数x恒成立,求a的取值范围.
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【题目】如图,在底面为正方形的四棱锥P-ABCD中,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,点E是线段PC的中点.
(1)求异面直线AP与BE所成角的大小;
(2)若点F在线段PB上,使得二面角F-DE-B的正弦值为,求的值.
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