Question

已知集合M={f（x）|f²（x）-f²（y）=f（x+y）•f（x-y）}，x，y∈R，有下列命题：
①若f1(x)=

1，x≥0 -1，x＜0

则f₁（x）∈M；
②若f₂（x）=sinx，则f₂（x）∈M；
③若f（x）∈M，y=f（x）的图象关于原点对称；
④若f（x）∈M，则对任意不等的实数x₁、x₂，总有

f1(x)-f2(x)

x1-x2

＜0；
⑤若f（x）∈M，则对任意的实数x₁、x₂，总有f(

x1+x2

2

)≤

f1(x)+f2(x)

2

．
其中是正确的命题有

 

．（写出所有正确命题的编号）

Answer 1

分析：通过举反例，判断出①错；通过三角函数的和差公式判断出②对；通过给x，y赋值及奇函数的定义判断出③对；通过举反例，判断出④错；通过举反例判断出⑤错．

解答：解：对于①令x≥y≥0，f²（x）-f²（y）=0而f（x+y）f（x-y）=1，则易知①是错误的；
对于②f²（x）-f²（y）=sin²x-sin²y，f（x+y）f（x-y）=sin²x-sin²y有②f²（x）-f²（y）=f（x+y）f（x-y）
故②是正确的；
对于③令x=y=0可得f（0）=0；再令x=0，有f²（0）-f²（y）=f（y）f（-y）即f（y）（（fy）+f（-y））=0则有f（y）=0或f（-y）=-f（y），因此f（x）为奇函数，故③正确；
令f（x）=sinx∈M但f（x）在R上不具备单调性，故④错，同样借助f（x）=sinx的图象，验证⑤不正确
故答案为：②③

点评：本题考查三角函数的和、差角公式、考查奇函数的定义、考查利用举反例的方法说明一个命题不成立．