Question

6．设函数f（x）=e^mx+x²-mx．
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）-f（x₂）≤e-1，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过m的范围，判断导函数的符号，推出函数的单调区间．
（2）利用函数的单调性，判断函数的极值，转化对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，都有f（x₁）-f（x₂）≤e-1，得到不等式组，即可求解m的范围．

解答 （本题满分12分）
解：（1）函数f（x）=e^mx+x²-mx，可得f′（x）=m（e^mx-1）+2x．
若m≥0，则当x∈（-∞，0）时，e^mx-1≤0，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，e^mx-1≥0，f′（x）＞0．
若m＜0，则当x∈（-∞，0）时，e^mx-1＞0，f′（x）＜0；
当x∈（0，+∞）时，e^mx-1＜0，f′（x）＞0．
所以，f（x）在（-∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．
（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[-1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．
所以对于任意x₁，x₂∈[-1，1]，|f（x₁）-f（x₂）|≤e-1的要条件是$\left\{\begin{array}{l}f（1）-f（0）≤e-1\\ f（{-1}）-f（0）≤e-1\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{e^m}-m≤e-1\\{e^{-m}}+m≤e-1\end{array}\right.$，①
令g（x）=e^x-x，则g（x）=e^x-1，g（x）在（0，+∞）单调递增，在（-∞，0单调递减，不妨设g（x₀）=e-1，因为$g（{-1}）=1-\frac{1}{e}＜e-1，g（{-2}）=2-\frac{1}{e^2}＞e-1$，所以x₀∈（-2，-1），
所以$\left\{\begin{array}{l}-{x_0}≤m≤1\\-{x_0}≤-m≤1\end{array}\right.$，综上，m的取值范围为[-1，1]．

点评 本题考查导数与函数的单调性的判断单调区间的求法，考查分析问题解决问题的能力、转化思想以及分类讨论思想的应用．