Question

某商品在近30天内每件的销售价格P元与时间t天的函数关系是
P=

t+20，(0＜t＜25，t∈N+) -t+100，(25≤T≤30，t∈N+)

该商品的日销售量Q件与时间t天的函数关系式是Q=-t+40（0＜t≤30，t∈N₊）．
（1）求这种商品的日销售金额y关于时间t的函数关系式；
（2）求这种商品的日销售金额y的最大值，并指出取得该最大值的一天是30天中的第几天？

Answer 1

分析：（1）在解答时，应充分考虑自变量的范围不同销售的价格表达形式不同，分情况讨论即可获得日销售金额y关于时间t的函数关系式；
（2）根据分段函数不同段上的表达式，分别求最大值最终取较大者分析即可获得问题解答．

解答：解：
（1）由题意可知：y=

(t+20)(-t+40)，(0＜t＜25，t∈N+) (-t+100)(-t+40)，(25≤t≤30，t∈N+)

．
即y=

-t2+20t+800 amp;(0＜t＜25，t∈N+) t2-140t+4000 amp;(25≤t≤30，t∈N+)

（2）当0＜t＜25，t∈N₊时，y=（t+20）（-t+40）=-t²+20t+800=-（t-10）²+900．
∴t=10（天）时，y_max=900（元），
当25≤t≤30，t∈N₊时，y=（-t+100）（-t+40）=t²-140t+4000=（t-70）²-900，
而y=（t-70）²-900，在t∈[25，30]时，函数递减．
∴t=25（天）时，y_max=1125（元）．
∵1125＞900，∴y_max=1125（元）．
故所求日销售金额的最大值为1125元，且在最近30天中的第25天日销售额最大．

点评：本题考查的是分段函数应用类问题．在解答的过程当中充分体现了分类讨论的思想、二次函数球最值得方法以及问题转化的能力．值得同学们体会反思．