Question

已知函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax+1存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
（1）求证：函数f（x）的导函数f′（x）在（-2，0）上是单调函数；
（2）设A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂）），若直线AB的斜率不小于-2，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）先对函数f（x）进行求导，根据原函数有两个极值点可求出a的范围，再对函数f'（x）求导得到f''（x）后判断其符号可得到导函数f′（x）在（-2，0）上的单调性．
（2）表示出直线AB的斜率，将（1）中结果代入可解出a的范围．

解答：（1）∵函数f(x)=

1

3

x3+

1

2

ax2+ax+1存在两个极值点x₁，x₂，且x₁＜x₂．
∴f'（x）=x²+ax+a，△=a²-4a＞0，∴a＞4或a＜0，且x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴f''（x）=2x+a∴x∈（-2，0）时，f''（x）=2x+a∈（-4+a，a）
若a＞4时，f''（x）＞0，f′（x）在（-2，0）上是单调增函数
若a＜0时，f''（x）＜0，f′（x）在（-2，0）上是单调减函数
得证．
（2）直线AB的斜率=

f(x2)-f(x1 )

x2-x1

=

1 3 [(x2)3-(x1)3]+ 1 2 a[(x2)2-(x1)2]+a(x2-x1)

x2-x1

=

1

3

（x₂²+x₁²+x₁x₂）+

1

2

a(x1+x2)+a=

1

3

[(x1+ x2 )2-x1x2]+

1

2

a(x1+x2)+a≥-2
∵x₁+x₂=-a，x₁x₂=a
∴

1

3

(a2-a)-

1

2

a2+a≥-2∴-2≤a≤6

点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．