Question

20．在长方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，B₁C和C₁D与底面所成的角分别为60°和45°，则异面直线B₁C和C₁D所成角的正弦值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{4}$
• B． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• C． $\frac{{\sqrt{10}}}{4}$
• D． $\frac{{\sqrt{6}}}{4}$

Answer 1

分析 设B₁B=a，B₁C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°，推知BC=a，DC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，推知表示出长方体从一个顶点出发的三条棱的长度推知面对角线的长度，再用余弦定理求解．

解答 解：设B₁B=a，
∵B₁C和C₁D与底面A₁B₁C₁D₁所成的角分别为60°和45°
∴BC=a，DC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$a，
∴A₁D=$\sqrt{2}$a，DC₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，A₁C₁=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$a，
由余弦定理得：cos∠C₁A₁D=$\frac{\sqrt{6}}{4}$，
∴sin∠C₁A₁D=$\sqrt{1-\frac{6}{16}}$=$\frac{\sqrt{10}}{4}$
故选C．

点评 本题主要考查异面直线所角的基本求法，若所成的角在直角三角形中，则用三角函数的定义，若在一般三角形中则用余弦定理．