Question

设偶函数f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，则不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0的解集为（　　）

A．（-2，0）∪（2，+∞）

B．（-∞，-2）∪（0，2）

C．（-∞，-2）∪（2，+∞）

D．（-2，0）∪（0，2）

Answer 1

分析：根据函数为偶函数，可将原不等式变形为xf（x）＞0，然后分两种情况讨论：当x＞0时有f（x）＞0，根据函数在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0，得到0＜x＜2；当x＜0时有f（x）＜0，结合函数为偶函数的性质与（0，+∞）上的单调性，得x＜-2．

解答：解：∵f（x）是偶函数
∴f（-x）=f（x）
不等式

f(x)+f(-x)

x

＞0，即

2f(x)

x

＞0
也就是xf（x）＞0
①当x＞0时，有f（x）＞0
∵f（x）在（0，+∞）上为减函数，且f（2）=0
∴f（x）＞0即f（x）＞f（2），得0＜x＜2；
②当x＜0时，有f（x）＜0
∵-x＞0，f（x）=f（-x）＜f（2），
∴-x＞2⇒x＜-2
综上所述，原不等式的解集为：（-∞，-2）∪（0，2）
故选B

点评：本题以函数的单调性和奇偶性为载体，考查了抽象不等式的解法，属于基础题．