Question

定义在非零实数集上的函数f（x）满足f（xy）=f（x）+f（y），且f（x）是区间（0，+∞）上的递增函数
（1）求f（1），f（-1）的值；
（2）求证：f（-x）=f（x）；
（3）解关于x的不等式：f(2)+f(x-

1

2

)≤0．

Answer 1

分析：（1）令x=y=1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（1），令x=y=-1，利用恒等式f（xy）=f（x）+f（y）求f（-1）
（2）令y=-1，代入f（xy）=f（x）+f（y），结合（1）的结论即可证得f（-x）=f（x）
（3）利用恒等式变f(2)+f(x-

1

2

)≤0为f（2x-1）≤f（-1），由（2）的结论知函数是一偶函数，由函数在区间（0，+∞）上的递增函数，即可得到关于x的不等式．

解答：解：（1）令，则f（1）=f（1）+f（1）
∴f（1）=0（3分）
令x=y=-1，则f（1）=f（-1）+f（-1）
∴f（-1）=0（6分）

（2）令y=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x）
∴f（-x）=f（x）（10分）

（3）据题意可知，
f（2）+f（x-

1

2

）=f（2x-1）≤0
∴-1≤2x-1＜0或0＜2x-1≤1（13分）
∴0≤x＜

1

2

或

1

2

＜x≤1（15分）

点评：本题考点是抽象函数及其运用，考查用赋值的方法求值与证明，以及由函数的单调性解抽象不等式，抽象不等式的解法基本上都是根据函数的单调性将其转化为一元二次不等式或者是一元一次不等式求解，转化时要注意转化的等价性，别忘记定义域这一限制条件．