Question

18．已知等差数列{a_n}中，S₂₀₁₁＞0，S₂₀₁₂＜0，则$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$（1≤n≤2011）的最大值为$\frac{{S}_{1006}}{{a}_{1006}}$．

Answer 1

分析 由题意可得a₁₀₀₆＞0，a₁₀₀₇＜0；分n≤1006和1006＜n≤2011讨论数列的单调性和正负可得．

解答 解：由题意和等差数列的性质可得S₂₀₁₁=2011a₁₀₀₆＞0，∴a₁₀₀₆＞0，
同理可得S₂₀₁₂=2012（a₁₀₀₆+a₁₀₀₇）＜0，∴a₁₀₀₇＜0；
当n≤1006时，等差数列{a_n}递减但a_n＞0，∴S_n递增，
∴$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$递增，∴当n=1006时，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$取最大值；
当1006＜n≤2011时，等差数列{a_n}递减但a_n＜0，∴S_n递减，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$＜0．
综上可知当n=1006时，$\frac{{S}_{n}}{{a}_{n}}$取最大值．
故答案为：$\frac{{S}_{1006}}{{a}_{1006}}$

点评 本题考查等差数列的求和公式，涉及分类讨论和数列的单调性，属中档题．