Question

椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F₁（-c，0），F₂（c，0），M是椭圆短轴的一个端点，且满足

F1M

•

F2M

=0，点N（ 0，3 ）到椭圆上的点的最远距离为5

2

（1）求椭圆C的方程
（2）设斜率为k（k≠0）的直线l与椭圆C相交于不同的两点A、B，Q为AB的中点，P(0，-

3

3

)；问A、B两点能否关于过点P、Q的直线对称？若能，求出k的取值范围；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）由M是椭圆短轴的一个端点，且满足

F1M

•

F2M

=0，可得△F₁F₂M是一个以M为直角的等腰直角三角形，结合点N（ 0，3 ）到椭圆上的点的最远距离为5

2

，求出a，b的值，可得椭圆的方程；
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），将A，B两点代入椭圆方程，利用点差法，可得x₀+2ky₀=0，根据对称的性质，可得y₀=-

1

k

x₀-

3

3

，再结合Q点在椭圆内部，构造关于k的不等式，解不等式可得k的范围．

解答：解：（1）∵M是椭圆短轴的一个端点，且满足

F1M

•

F2M

=0，
即△F₁F₂M是一个以M为直角的等腰直角三角形
故椭圆方程可表示为：

x2

2b2

+

y2

b2

=1
设H（ x，y ）是椭圆上的一点，
则|NH|²=x²+（y-3）²=-（y+3）²+2b²+18，其中-b≤y≤b
若0＜b＜3，则当y=-b时，|NH|²有最大值b²+6b+9，
所以由b²+6b+9=50解得b=-3±5

2

（均舍去） 
若b≥3，则当y=-3时，|NH|²有最大值2b²+18，
所以由2b²+18=50解得b²=16
∴所求椭圆方程为

x2

32

+

y2

16

=1
（2）设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x₀，y₀），Q为AB的中点
∴x₀=

x1+x2

2

，y₀=

y1+y2

2

，
则由

x12 32 + y12 16 =1 x22 32 + y22 16 =1

两式相减得：x₀+2ky₀=0…①
又由直线PQ⊥l，
∴直线PQ的方程为y=-

1

k

x-

3

3

将Q（x₀，y₀）坐标代入得：y₀=-

1

k

x₀-

3

3

…②
由①②得Q（-

2 3

3

k，

3

3

）
而Q点在椭圆内部
∴

x02

32

+

y02

16

＜1，即k²＜

47

2

又∵k≠0
∴k∈（-

94

2

，0）∪（0，

94

2

）
故当k∈（-

94

2

，0）∪（0，

94

2

）时，A、B两点关于过点P、Q的直线对称

点评：本题考查的知识点是直线与圆锥曲线，椭圆的标准方程，是高考的压轴题型，运算量大，综合性强，属于难题．