Question

12．已知函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lgx|，0＜x≤10\\-\frac{1}{2}x+6，x＞10\end{array}\right.$．
（1）画出函数的大致图象，指出其单调区间；
（2）若方程f（x）=k（k为常数）有三个不相等的实数根，求k的取值范围；
（3）若0＜a＜b＜10，且f（a）=f（b），求ab的值．

Answer 1

分析 （1）直接由分段函数作出函数的图象，由图象可得函数的单调期间；
（2）数形结合可得使方程f（x）=k（k为常数）有三个不相等的实数根的k的取值范围；
（3）由题意可知，0＜a＜1＜b＜10，由f（a）=f（b）可得|lga|=|lgb|，得-lga=lgb，则ab=1．

解答 解：（1）函数$f（x）=\left\{\begin{array}{l}|lgx|，0＜x≤10\\-\frac{1}{2}x+6，x＞10\end{array}\right.$的图象如图，
单调减区间为（0，1），（10，+∞）；单调增区间为[1，10]；

（2）由图可知，若方程f（x）=k（k为常数）有三个不相等的实数根，则k的取值范围是（0，1）；
（3）若0＜a＜b＜10，且f（a）=f（b），则0＜a＜1＜b＜10，
由f（a）=f（b），即|lga|=|lgb|，得-lga=lgb，∴lgab=0，则ab=1．

点评 本题考查分段函数的应用，考查了函数的图象和性质，体现了数形结合的解题思想方法，是中档题．