精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,边长为2的正方形A1ACC1绕直线CC1旋转90°得到正方形B1BCC1,D为CC1的中点,E为A1B的中点,G为△ADB的重心.
(1)求直线EG与直线BD所成的角;
(2)求直线A1B与平面ADB所成的角的正弦值.
由题设CC1⊥AC,CC1⊥BC,AC⊥BC
所以,以C为坐标原点,CA,CB,CC1所在直线为x,y,z轴,建立空间直角坐标系
则C(0,0,0),A(2,0,0),B(0,2,0),C1(0,0,2),A1(2,0,2),B1(0,2,2),
所以D(0,0,1),E(1,1,1),G(
2
3
2
3
1
3
)
.(2分)
(1)
EG
=(-
1
3
,-
1
3
,-
2
3
)
BD
=(0,-2,1)
(4分)
所以
EG
BD
=
2
3
-
2
3
=0

EG
BD

所以,直线EG与直线BD所成的角为
π
2
.(5分)
(2)
A1B
=(-2,2,-2)
(6分)
AB
=(-2,2,0)
AD
=(-2,0,1)

n
=(x0y0z0)
为平面ABD的一个法向量
n
AB
=-2x0+2y0=0
n
AD
=-2x0+y0=0

y0=x0
z0=2x0

n
=(1,1,2)
.(8分)
设A1B与平面ADB所成的角为θ
sinθ=|cos?
A1B,
n
>|=
4
2
3
6
=
2
3

即:A1B与平面ADB所成的角为正弦值为
2
3
.(10分)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

将正方形ABCD沿对角线BD折成一个120°的二面角,点C到达点C1,这时异面直线AD与BC1所成的角的余弦值是(  )
A.
2
2
B.
1
2
C.
3
4
D.
3
4

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图,已知斜三棱柱(侧棱不垂直于底面)ABC-A1B1C1的侧面A1ACC1与底面ABC垂直,BC=2,AC=2
3
,AB=2
2
AA1=A1C=
6

(Ⅰ)设AC的中点为D,证明A1D⊥底面ABC;
(Ⅱ)求异面直线A1C与AB成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M,N分别为AA1、BB1的中点.
求:(1)CM与D1N所成角的余弦值.
(2)D1N与平面MBC所成角的余弦值.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=CC1∠ACB=90°,CC1⊥平面ABC,则AC1与平面ABB1A1所成角的大小为______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

已知二面角α-l-β等于90°,A、B是棱l上两点,AC、BD分别在半平面α、β内,AC⊥l,BD⊥l,已知AB=5,AC=3,BD=4,则CD与平面α所成角的正弦值为______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=BC=2AA1,则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

在四棱锥P-ABCD中,ABCD为正方形,PA⊥平面ABCD,若PA=AB,则PC与面PAB所成角的余弦值为______.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图△BCD与△MCD都是边长为2的正三角形,平面MCD⊥平面BCD,AB⊥平面BCD,AB=2
3

(1)求点A到平面MBC的距离;
(2)求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值.

查看答案和解析>>

同步练习册答案