Question

【题目】已知椭圆的离心率，且椭圆与圆的4个交点恰为一个正方形的4个顶点.

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点为椭圆的下顶点， 为椭圆上与不重合的两点，若直线与直线的斜率之和为，试判断是否存在定点，使得直线恒过点，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 存在定点，使得直线恒过点

【解析】试题分析：（1）第（1）问，直接根据已知条件得到关于a,b的一个方程组，再解方程组即可. (2)第（2）问，对直线的斜率分两种情况讨论.每一种情况都要先根据已知条件求直线DE的方程，再判断其方程是否过定点.

试题解析：

（1）因为椭圆的离心率，

所以，即，

因为椭圆与圆的4个交点恰为一个正方形的4个顶点，

所以直线与圆的一个交点在椭圆上，所以，

由解得，所以椭圆的标准方程为.

（2）由（1）知，

当直线的斜率存在时，设直线的方程为，

代入得， ，

所以，即.

设，则，

因为直线与直线的斜率之和为，所以 ，

整理得，所以直线的方程为，

显然直线经过定点.

当直线的斜率不存在时，设直线的方程为，

因为直线与直线的斜率之和为，设，则，

所以，解得，

此时直线的方程为，显然直线经过定点.

综上，存在定点，使得直线恒过点.