Question

18．已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f（x）=-2x²+3x+1
（1）求f（0）
（2）当x＜0时，f（x）的解析式
（3）f（x）在R上的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据奇函数的定义，可得f（0）；
（2）根据函数奇偶性的性质，将x＜0转化为-x＞0，即可求出x＜0时，f（x）的解析式；
（3）由（1）（2），结合条件，可得f（x）在R上的解析式．

解答 解：（1）∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（-x）=-f（x），
∴f（-0）=-f（0），
∴f（0）=0；
（2）若x＜0，则-x＞0，
∵当x＞0时，f（x）=-2x²+3x+1，
∴当-x＞0时，f（-x）=-2x²-3x+1，
∵f（x）是定义在R上的奇函数，
∴f（x）=-f（-x）=2x²+3x-1，（x＜0），
∴f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-2{x}^{2}+3x+1，x＞0}\\{0，x=0}\\{2{x}^{2}+3x-1，x＜0}\end{array}\right.$．

点评 本题主要考查函数解析式的求法，利用函数的奇偶性的性质是解决本题的关键．