Question

5．已知函数f（x）=（x+1）lnx-ax+2．
（1）当a=1时，求在x=1处的切线方程；
（2）若函数f（x）在定义域上具有单调性，求实数a的取值范围；
（3）求证：$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}＜\frac{1}{2}ln（n+1）$，n∈N^*．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，计算f（1），f′（1），求出切线方程即可；
（2）求出函数的导数，通过讨论函数递减和函数递增，从而求出a的范围即可；
（3）令a=2，得：lnx＞$\frac{{2（{x-1}）}}{x+1}$在（1，+∞）上总成立，令x=$\frac{n+1}{n}$，得ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{2（\frac{n+1}{n}-1）}{\frac{n+1}{n}+1}$，化简得：ln（n+1）-lnn＞$\frac{2}{2n+1}$，对x取值，累加即可．

解答 解：（1）当a=1时，f（x）=（x+1）lnx-x+2，（x＞0），
f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$，f′（1）=1，f（1）=1，
所以求在x=1处的切线方程为：y=x．
（2）f′（x）=lnx+$\frac{1}{x}$+1-a，（x＞0）．
（i）函数f（x）在定义域上单调递减时，
即a≥lnx+$\frac{x+1}{x}$时，令g（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$，
当x＞e^a时，g′（x）＞0，不成立；
（ii）函数f（x）在定义域上单调递增时，a≤lnx+$\frac{x+1}{x}$；
令g（x）=lnx+$\frac{x+1}{x}$，
则g′（x）=$\frac{x-1}{x^2}$，x＞0；
则函数g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增；
所以g（x）≥2，故a≤2．
（3）由（ii）得当a=2时f（x）在（1，+∞）上单调递增，
由f（x）＞f（1），x＞1得（x+1）lnx-2x+2＞0，
即lnx＞$\frac{{2（{x-1}）}}{x+1}$在（1，+∞）上总成立，
令x=$\frac{n+1}{n}$得ln$\frac{n+1}{n}$＞$\frac{2（\frac{n+1}{n}-1）}{\frac{n+1}{n}+1}$，
化简得：ln（n+1）-lnn＞$\frac{2}{2n+1}$，
所以ln2-ln1＞$\frac{2}{2+1}$，
ln3-ln2＞$\frac{2}{5+1}$，…，
ln（n+1）-lnn＞$\frac{2}{2n+1}$，
累加得ln（n+1）-ln1＞$\frac{2}{3}+\frac{2}{5}+…+\frac{2}{2n+1}$，
即$\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+…+\frac{1}{2n+1}＜\frac{1}{2}$ln（n+1），n∈N^*命题得证．

点评 本题考查了切线方程问题，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想、转化思想，是一道综合题．