Question

19．已知正项等比数列{a_n}满足：a₇=a₆+2a₅，若存在两项a_m、a_n，使得a_ma_n=16a₁²，则$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值为（　　）

• A． $\frac{3}{2}$
• B． $\frac{8}{3}$
• C． $\frac{11}{4}$
• D． 不存在

Answer 1

分析 设{a_n}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式化简a₇=a₆+2a₅，求出q，代入a_ma_n=16a₁²化简得m，n的关系式，由“1”的代换和基本不等式求出式子的范围，验证等号成立的条件，由m、n的值求出式子的最小值．

解答 解：设正项等比数列{a_n}的公比为q，且q＞0，
由a₇=a₆+2a₅得：a₆q=a₆+$\frac{2{a}_{6}}{q}$，
化简得，q²-q-2=0，解得q=2或q=-1（舍去），
因为a_ma_n=16a₁²，所以$（{a}_{1}{q}^{m-1}）$$（{a}_{1}{q}^{n-1}）$=16a₁²，
则q^m+n-2=16，解得m+n=6，
所以$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$=$\frac{1}{6}$（m+n）（$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$）=$\frac{1}{6}$（10+$\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}$）≥$\frac{1}{6}（10+2\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}）$=$\frac{8}{3}$，
当且仅当$\frac{n}{m}=\frac{9m}{n}$时取等号，此时$\left\{\begin{array}{l}{\frac{n}{m}=\frac{9m}{n}}\\{m+n=6}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=\frac{3}{2}}\\{n=\frac{9}{2}}\end{array}\right.$，
因为m n取整数，所以均值不等式等号条件取不到，则$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$＞$\frac{8}{3}$，
验证可得，当m=2、n=4时，$\frac{1}{m}+\frac{9}{n}$取最小值为$\frac{11}{4}$，
故选：C．

点评 本题考查等比数列的通项公式，利用“1”的代换和基本不等式求最值问题，考查化简、计算能力，注意等号的成立的条件，属于易错题．